Question

dati---------mi exemplu de 5 exercitii cu cmmmc cmmdc

Answer 1

∅ Rezolvare :



→ c . m . m . d . c


=> se descompun numerele în produs de puteri de numere prime .


=> se iau toți factorii primi comuni , o singură dată , la puterea cea mai mică și se înmulțesc între ei .



Ex . 1



Demonstrati că oricare ar fi numerele naturale a , b , c , dacă b | a și c | a și ( b , c ) = 1 atunci b • c | a .





Rezolvare : Din b | a și c | a => a = b • p și a = c • q ( p , q € N ) , de unde b • p = c • q . Cum ( b , c ) = 1 , => p = c • r ( r € N ) . Deci , a = ( b • c ) • r , adică b • c | a .




Ex . 2

____
Determinați toate numerele naturale de forma 3xy divizibile cu 15 .


____ ____ ____ ____
Rezolvare : 15 | 3xy < = > 5 | 3xy , 3 | 3xy și ( 3 , 5 ) = 1 . Dar 5 | 3xy <=>

____ ___ ____ ___
<=> y € { 0 , 5 } <=> 3xy € { 3x0 , 3x5 } . Cum 3 | 3x0 <=> 3 | ( 3 + x + 0 )

____
<=> 3 | ( 3 + x ) <=> x € { 0 , 3 , 6 , 9 } <=> 3x0 € { 300 , 330 , 360 , 390 }

____
și 3 | 3x5 <=> 3 | ( 3 + x + 5 ) <=> 3 | ( 8 + x ) <=> x € { 1 , 4 , 7 } <=>

____
<=> 3x5 € { 315 , 345 , 375 } . Numerele căutate sunt : 300 , 315 , 330 , 345 , 360 , 375 , 390 .



Ex . 3



( a , b ) = 15

a • b = 1350

a = ?

b = ?





Rezolvare :



______________________________________

→ ( a,b ) = 15 → a = 15x si b = 15y →
_______________________________________

→ ( x,y ) = 1
________________________________________


→ a • b = 1 350 → 15x • 15y = 1 350
_________________________________________


x • y = 1 350 : 225 = 6 y = 6 →
__________________________________________

y = 1 → x = 6 → a = 15 • 6 → a = 90 → b = 15 • 1 → b = 15
___________________________________________

y = 2 → x = 3 → a = 15 • 3 → a = 45 → b = 15 • 2 → b = 30
___________________________________________

y = 3 → x = 2 → a = 15 • 2 → a = 30 → b = 15 • 3 → b = 45
___________________________________________

y = 6 → x = 1 → a = 15 • 1 → a = 15 → b = 15 • 6 → b = 90
___________________________________________


S = { ( 90 , 15 ) , ( 45 , 30 ) , ( 30 , 45 ) , ( 15 , 90 ) }

____________________________________________



→ c . m . m . m . c


=> se descompun numerele în produs de puteri de numere prime .

=> se iau factorii primi comuni si necomuni , o singură dată , la puterea cea mai mare si se înmulțesc între ei .



Ex . 1


Stabiliți dacă numărul 3^2 008 + 6 este divizibil cu 11 .



Rezolvare : 3^2 008 + 6 = 3³ • 3^2 005 + 6 = 3³ • ( 3^5 )^401 + 6 = 3³ • 243^401 + 6 = 3³ • ( 2 • 11² + 1)^401 + 6 = 3³ • ( M¹¹ + 1 )^401 + 6 = 3³ • ( M¹¹ + 1^401 ) + 6 = 27( M¹¹ + 1 ) + 6 = M¹¹ + 27 + 6 = M¹¹ + 33 = M¹¹ , adică 3^2 008 + 6 este divizibil cu 11 .

_____________________________________________________



Ex . 2




Calculați c . m . m . m . c al următoarelor grupe de numere :

a)2;9

b) 7;14

c)2;3;4

d)4;5

e)2;3;5

f)15;30;45

g)20;40;50

h)2;4;6;8

i)10;15;30;60

j)11;33;66;99




Rezolvare : a) 2 | 2 1 | 9 | 3 3 | 3 1 2 = 2 c.m.m.m.c = 2 • 3² = 2 • 9 = 18 9 = 3² b) 7 | 7 1 14 | 2 7 | 7 1 7 = 7 c.m.m.m.c = 2 • 7 = 14 14 = 2 • 7 c) 2 | 2 1 3 | 3 1 4 | 2 2 | 2 1 2 = 2 c.m.m.m.c = 2² • 3 = 4 • 3 = 12 3 = 3 4 = 2² d) 4 | 2 2 | 2 1 5 | 5 1 4 = 2² c.m.m.m.c = 2² • 5 = 4 • 5 = 20 5 = 5 e) 2 | 2 1 3 | 3 1 5 | 5 1 2 = 2 3 = 3 c.m.m.m.c = 2 • 3 • 5 = 6 • 5 = 30 5 = 5 f ) 15 | 3 5 | 5 1 30 | 2 15 | 3 5 | 5 1 45 | 3 15 | 3 5 | 5 1 15 = 3 • 5 30 = 2 • 3 • 5 c.m.m.m.c = 2 • 3² • 5 = 2 • 9 • 5 = 18 • 5 = 90 45 = 3² • 5 g ) 20 | 2 • 5 2 | 2 1 40 | 2 • 5 4 | 2 2 | 2 1 50 | 2 • 5 5 | 5 1 20 = 2² • 5 40 = 2³ • 5 c.m.m.m.c = 2³ • 5² = 8 • 25 = 200 50 = 2 • 5² h ) 2 | 2 1 4 | 2 2 | 2 1 6 | 2 3 | 3 1 8 | 2 4 | 2 2 | 2 1 2 = 2 4 = 2² 6 = 2 • 3 c.m.m.m.c = 2³ • 3 = 8 • 3 = 24 8 = 2³ i ) 10 | 2 • 5 1 15 | 3 5 | 5 1 30 | 2 • 5 3 | 3 1 60 | 2 • 5 6 | 2 3 | 3 1 10 = 2 • 5 15 = 3 • 5 c.m.m.m.c = 2² • 3 • 5 = 4 • 3 • 5 = 12 • 5 = 60 30 = 2 • 3 • 5 60 = 2² • 3 • 5 j ) 11 | 11 1 33 | 3 11 | 11 1 66 | 2 33 | 3 11 | 11 1 99 | 3 33 | 3 11 | 11 1 11 = 11 33 = 3 • 11 66 = 2 • 3 • 11 c.m.m.m.c = 2 • 3² • 11 = 2 • 9 • 11 = 18 • 11 = 198 99 = 3² • 11

_______________________________________________________




Ex . 3


Aflati care este cel mai mic numar de elevi care se pot aseza in coloana de 5,4 sau 6 elevi astfel incat sa nu ramana niciun elev singur.


Rezolvare :



5 | 5
1

_______________________


4 | 2
2 | 2
1

_______________________

6 | 2
3 | 3
1

_______________________



5 = 5

4 = 2²

6 = 2 • 3

_____________________


c . m . m . m . c = 2² • 3 • 5 = 4 • 3 • 5 = 12 • 5 = 60 elevi
___________________________________________________