Question

Dati-mi si mie o problema numerica deosebita cu doua sau mai multe moduri de rezolvare (problema + rezolvarile) si care sa fie de nivelul claselor VIII-X.
*De preferat din culegeri sau de la concursuri/olimpiade scolare.

Answer 1

Problema 1. Dacănn R B A ×∈,sunt două matrice asemenea, i.e. există matricea nesingularănn RT  ×∈ astfel încâtT  AT  B 1−= atuncia);detdet B A= b),tr tr  A B=unde∑==niii A A1),(tr  este, prin definiţie, urma matricei A. Altfel spus, transformările deasemănare conseră determinantul !i urma unei matrice. "a aplicaţie, demonstraţi relaţiile (#.$)!i (#.$), i.e. c)∏==nii A1det λ  !i d),tr 1∑==nii A λ undenii %1, =λ  sunt alorile proprii alematricei A.Soluţie.a) "onsiderăm cunoscută egalitatea H GGH  detdet)det( ⋅= oricare ar fi matricele pătrateG !i H  de acela!i ordin, relaţie din care re&ultă imediat !i egalitateaGGdet1)det( 1=− oricare ar fi matricea nesingularăG. 'rin urmare, AT  AT  AT T  detdetdetdet)det( 11=⋅⋅= −−. b) Dacă1−=T  X , atunciiji X   jT   jT i X  δ  == )(%,%),()(%,%),(, unde scalarulijδ    este 1 dacă  ji = !i  dacă  ji ≠. e&ultă∑ ∑∑∑∑= = = ======nk nk nin  jnik   jT   ji Aik  X k  AT k  X k k  B B1 1 1 11),(),(),()(%,%),(),(tr  Aii A  ji Ai X   jT   ji Aik  X k   jT   ji Anin  jnk ninin  jijnin  jtr ),(),()(%,%),(),(),(),(),(1 1 1 11 11 1=====∑∑ ∑ ∑∑∑∑∑= = = == == =δ  .'entru a demonstra egalităţile c) !i d) este suficient să considerăm forma *c+ur (complexă)Q AQS  H = amatricei A. ntrucât A este o matrice superior triung+iulară aând ca elemente diagonale alorile proprii alematricei A re&ultă∏===niiS  A1detdet λ !i∑===niiS  A1tr tr  λ .Problema 2.-ie o matricenn R A ×∈ aând structura bloc superior triung+iulară=.1.1( A A A A. Dacă matricele1 A !i. A sunt diagonali&abile, este diagonali&abilă !i matricea A$Soluţie. n ca&ul general, răspunsul la întrebare este negati. ntr/adeăr, de exemplu, pentru ca&ul concretC  A A ∈== λ 1 !i1 ≠= Aα  matricea A nu este diagonali&abilă întrucât ecuaţia x Ax λ = impune cunecesitate = xα , i.e = x ceea ce înseamnă că nu există doi ectori proprii liniar independenţi. 0xistă !isituaţii în care răspunsul este afirmati.  primă astfel de situaţie este cea în care1 = A (e&i problema propusă#.).  altă situaţie corespunde ca&ului în care∅=∩ )()(1 A A λ λ . n acest din urmă ca&, fie1 X  !i X  matrice nesingulare de ectori proprii pentru submatricele1 A !i A. Atunci matricea (nesingulară)11 X  X  X , unde1 YX  X  = cuY  soluţia ecuaţiei matriceale *2lester11 AYAY  A −=− (e&i 3 4,3 4), este o matrice de ectori proprii pentru matricea A, i.e. A este diagonalizabilă.

nu stiu daca e chiar ce iti trebuie...
P.S. e posibil sa mai fie greseli.