Question

Dați un exemplu de număr natural a pentru care numerele a, a+1, a+2, … , a+2013 sunt simultan compuse. Justificați.
Dau 50 de puncte.

Answer 1

Pentru a=1•2•3•....•2013 +2=2013!+2

=> 2013!+2; 2013!+3; 2013!+4; .......; 2013!+2015  sunt 2014 numere simultan compuse

2013!+2 este divizibil cu 2

2013!+3 este divizibil cu 3

2013!+4 este divizibil cu 4

.............................................

2013!+2013 este divizibil cu 2013

2013! +2014 este divizibil cu 2014; (2013! contine 2•1007)

2013! +2015 este divizibil cu 5, cu 13 si cu 31

deci,    a, a+1, a+2, … , a+2013 sunt simultan compuse pentru

a=1•2•3•....•2013 +2=2013!+2