Question

DAU 100 DE PUNCTE+COROANA

Answer 1

(x+a)(x+b)≥(x+√ab)²
x²+ax+bx+ab≥x²+2x√ab+ab=.>
ax+bx≥2x√ab
(ax+bx)/2≥√x²ab  evident  pt ca  Ma≥Mg
b)Pe  baza  inegalitatii  de  mai  sus  vom  scrue  urmatoarele  inegalitat
(a+b)(a+c)≥(a+√bc)²
(c+b)(c+a)≥(c+√ab)
(b+a)(b+c)≥(b+√ac)2
Se  inmultesc  egalitatile  membru  cu  membru  si  obtii
(a+b)²(a+c)²(b+c)²≥(a+√bc)²(b+√ac)²(c+√ab)²
Extragi  radacina  oatrata  si din  stangha  si din  dreapta  si  obtii 
Ramane  de  demonstrat  ultima  parte  a  inegalitatii
Congf  Inegalitatii  mediilor  Ma>Mhvom avea
a+b)/2>2ab/(a+b)
(a+C)/2≥2ac/(a+c)
(b+c)/2≥2bc/(b+c)
SE inmultesc  cele  2  inegalitati  membru  cu  membru  si  se  obtine
(a+b)(b+c)(c+a)/8≥8a²b²c²/(a+b)(a+c)(b+c)+.>
(a+b)²(c+b)²(c+a)²≥8²b²+c²Se extrahge  radacina  patrata  si se  ontie
(a+b0(b+c)(c+a)≥8abc