Question

DAU 100 DE PUNCTE, LA ACEST EXERCITIU

Answer 1

folosim propietatile proportiilor
x/y=p/q =(x+p)/(y+q) (prin adunarea numaratorilor, respectiv numitorilor obtinem o proportie derivata, echivalenta!)
Adunam dupa aceasta regula si obtinem ca fiecare raport va fi egal cu

a+b+c+d/(a+b+c+d)=1/3
deci obtinem ca 
a/(b+c+d)= 1/3  ceea ce implica 3a=b+c+d
Analog obtin
3b=a+c+d
3c=a+b+d
3d=a+b+c
luand relatiile doua (de exemplu ultimele doua)) obtin:
a+b=3c-d=3d-c,de unde
c=d
In acelasi fel se arata ca doua cate doua necunoscute sunt egale,, deci in final avem a=b=d=c, iar expresia A=4, care este un numar natural

Answer 2

36)
15a=12b=10c=k
a=k/15
b=k/12
a^2+b^2=k^2 x 369/(225 x 144) = 164
k=120
a=8
b=10
c=12
37)
aplicam proprietatile rapoartelor (suma numaratorilor / suma numitorilor) =1/3, obtinem:
3a=b+c+d
3b=a+c+d
3c=a+b+d
3d=a+b+c

a+b=3c-d=3d-c ⇒ 4c=4d ⇒ c=d
c+d=3a-b=3b-a ⇒ 4a=4b ⇒ a=b
b+c=3a-d=3d-a ⇒ 4a=4d ⇒ a=d
a+d=3b-c=3c-b ⇒ 4b=4c ⇒ b=c
rezulta a=b=c=d
A=4