Question

DAU 50-DE PUNCTE
VA ROOG
DAU TEST DIN ASTA !!!!!

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

DE ⊥(ABC) ⇒DE⊥PE TOATE DREPTELE DIN PLAN, DECI SI PE AD

cf teoremei celor trei perpendiculare deoarece avem DE⊥AD si AD⊥AB⇒EA⊥AB deci EAeste chiar distanta de la E la AB, pe care o calculam cu Pitagora in ΔEDA

EA²=ED²+AD²=9+12=21   EA=√21

Analog ED⊥DC si DC⊥BC⇒EC⊥BC deci EC este distanta de la E la BC

calculam EC din triunghiul dreptunghic EDC

EC²=ED²+DC²=9+36=45  EC=√45=3√5

-ducem din DK perpendiculara pe AC, cu K∈AC

conform th. catetei in ΔDAC,  AD²=AK*AC

dar AC²=AD²+DC²=12+36=48  AC=4√3

deci AK=AD²/AC=12/4√3=√3   KC=4√3-√3=3√3

si th inaltimii da:

DK²=AK*CK=9  DK=3

Aplicam din nou th. celor 3 perpendiculare: DE⊥DK si DK⊥AC⇒EK⊥AC, deci EK este distanta de la E la AC

EK²=DE²+DK²=9+9=18         EK=3√2

prelungim DK pana intersecteaza MN (in punctul P∈MN). Cum MN este linie mijlocie in ΔABC, aceasta imparte in 1/2 si inaltimea din B pe AC, deci KP este jumatate din aceasta inaltime. Cum inaltimea respectiva este egala cu DK (prin simetrie se poate arata asta!) avem:

KP=DK/2=3/2

atunci DP=DK+KP=9/2

si pentru ultima data th. celor trei perpendiculare:

DE⊥DP si DP⊥MN⇒EP⊥MN si deci EP este distanta de la E la MN

EP²=DE²+DP²=9+81/4=117/4   EP=√117/2

Sper sa nu fi gresit ceva la calcule, dar vezi tu!