Question

Dau 55 de puncte pentru cel mai bun raspunsuri!!
1.In triunghiul ABC,[BC] este mediana ,iar [EF] este mediana in triunghiul EBC.Aratati ca [FE] este mediana in triunghiul AFC,[AF] este mediana in triunghiul ABC.
2.Fie un triunghi DEF si A simetricul lui D fata de EF.Aratati ca [FB] este mediana in triunghiul FAD,unde {B}=AD ∩ EF.
3.In figura alaturata,M si N sunt mijloacele laturilor [AC],respectiv,[AB].Stiind ca BM∩CN={G} si [BM]≡[CN],aratati ca triunghiul BGC este isoscel.
4.Se considera triunghiul ABC si fie D si E simetricele punctelor B,respectiv C,fata de A.Aratati ca DE||BC.
5.Demonstrati ca intr-un triunghi dreptunghic isoscel inaltimea corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din ipotenuza.

Answer 1

1) Din enunț rezultă că:
- E este mijlocul lui AC
- F este mijlocul lui BC

Acestea fiind spuse, rezultă că:
- [FE] este mediana in triunghiul AFC
- [AF] este mediana in triunghiul ABC.

2) Fiindcă A este simetricul lui D, rezultă DB=BA, 
de unde rezultă că B este mijlocul lui AD,
de unde rezultă că [FB] este mediana in triunghiul FAD.

4) 
D fiind simetricul lui B față de A, rezultă că AD=AB    ---(I)
E fiind simetricul lui C față de A, rezultă că AE=AC    ---(II)
Punctele D,A,B sunt coliniare
punctele C,A,E sunt coliniare
rezultă că unghiurile EAD și CAB sunt congruente      ---(III)

Din cele trei relații, (I), (II) și (III), rezultă că triunghiurile DAE și CAB sunt congruente, de unde rezultă că DE||BC

5) Fie triunghiul ABC, dreptunghic în A.
Din ipoteză rezultă că măsurile celorlalte unghiuri sunt egale cu 45:  m(B)=m(C)=45 grade.

Fie AD înălțimea. Atunci, pentru că triunghiul este isoscel, AD este și bisectoare, deci m(DAC)=45. 

Rezultă că triunghiul DAC este și el isoscel, și AD=DC.

Dar DC este jumătate din ipotenuză, pentru că AD este și mediatoare.

Concluzie: AD=1/2 BC