Question

Dau 73 de puncte și coroana. Se considera prisma triunghiulara regulata dreapta cu aria totala egala cu 18(6+√3) si AA' = AC, iar P este mijlocul AC.
a) Calculați AC
b) Demonstrati că planele (PBC') și (APC') sunt perpendiculare
c) Calculați distanta de la punctul C la planul (PBC')

Answer 1

a) 

Notăm AA' = AC =a

$\it \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_{\ell} +2\cdot\mathcal{A}_b =3a^2+2\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4} = 3a^2+\dfrac{a^2\sqrt3}{2}= \\\;\\ \\\;\\ = a^2\left(3+\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = a^2\cdot \dfrac{6+\sqrt3}{2} \ \ \ \ (1) \\\;\\ \\\;\\ Dar, \ \mathcal{A}_t = 18(6+\sqrt3) \ \ \ \ (2)$

$\it Din\ \ (1),\ (2) \Longrightarrow a^2\cdot \dfrac{6+\sqrt3}{2}=18(6+\sqrt3) \Longrightarrow a^2 = 36 \Longrightarrow a=6$

Deci, AC = a = 6 cm


b) Două plane sunt perpendiculare dacă un plan conţine o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan .

$\rm AA' \perp(ABC)\ \ \ \ (3) \\\;\\ BP \subset(ABC) \ \ \ (4) \\\;\\ (3),\ (4) \Longrightarrow AA' \perp BP \Longrightarrow BP \perp AA' \ \ \ \ (5) \\\;\\ BP\ este \ median\u{a}\ \^{ i}n \ triunghiul\ ABC-\ echilateral \ \Rightarrow$

$\rm \Rightarrow \ BP-\ \^{ i}n\u{a} l\c{t} ime \Rightarrow BP\perp AC\ \ \ \ (6), \ \ \ iar\  AA' \cap AC =\{A\}\ \ \ (7)$

Din relațiile (5), (6), (7) ⇒ BP ⊥ (A'AC)

Dar, planul (A'AC) coincide cu planul (APC'), deci BP ⊥ (APC')

Deoarece  BP ⊂ (PBC'), se obține :  (PBC') ⊥ (APC')

c)

În triunghiul C'CP, dreptunghic în C, ducem înățimea CF, cu F pe C'P.

Demonstrăm că d[C, (BPC')] = C'P

BP ⊥ (A'AC) și CF ⊂ (A'AC) ⇒ BP ⊥ CF ⇒ CF ⊥ BP    (8)

CF⊥C'P     (9)

C'P ∩ BP = {P}     (10)

Din relațiile (8), (9), (10) ⇒ CF ⊥ (BPC').

CF este înălțime corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul C'CP.

Cu teorema lui Pitagora se determină C'P = 3√5 cm.

CF = (C'C · CP)/C'P = (6·3)/3√5 =6/√5 = 6√5/5

Așadar, d[C, (BPC')] = CF = 6√5/5 cm