Question

Dau 80 puncte si coroana!
Piramida triunghiulara ABCD are toate muchiile de lungimea a cm,unde a este un numar real pozitiv.Punctul M este mijlocul laturii AC.
a)Aratati ca dreapta AC este perpendiculara pe planul (MBD)
b)Calculati aria triunghiului MBD
c)Calculati distanta de la punctul M la planul (BCD)

Answer 1

piramida cu toate muchiile congruente este un tetraedru regulat

fetele sunt triunghiuri echilaterale de latura a.

DM si BM sunt mediane si inaltimi in tr. echilaterale

a)

DM⊥AC

BM⊥AC ⇒ AC⊥(MBD)

b)

tr. MBD este isoscel:

DM=BM=a√3/2 cm

BD=a cm

MP este mediana si inaltime in tr. isoscel MBD

cu pitagora in MPD ⇒ MP=√(DM^2 - PD^2)=√(3a^2/4 - a^2/4)

MP=a√2/2 cm

aria MBD, A=BD x MP/2=a x a√2/4

A=a^2√2/4 cm2

c)

ducem MN⊥CP

CP⊥BD

MP⊥BD ⇒ T3P R2 ⇒ MN⊥(BCD) ⇒ d(M;(BCD))=MN

CO=2CP/3=2a√3/6

CO=a√3/3 cm

pitagora in AOC, AO=√(AC^2 - CO^2)=√(a^2 - 3a^2/9)

AO=a√6 / 3 cm2

MN este linie mijlocie in tr. AOC ⇒ MN=AO/2=a√6/6 cm