Question

Dau coroana!
1. In exterioriul triunghiului isoscel∆ABC se construiesc tr echilaterale ∆ABD, ∆ACE, ∆BCF. Aratati ca (AF) congr cu (BE) congr cu (CD)
2.daca a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi a.i a^2 =b•c iar b^2= a •c atunci triunghiul este echilateral.
Ajutor va rog!!!!!

Answer 1

1. m(<DBC)=m(<DBA)+m(<ABC). Dar m(<DBA)=m(<ACE)=60* si m(<ABC)=m(<ACB) => m(<DBC)=m(<ECB).
ΔABD-echilateral => [BD]≡[AB].
ΔACE-echilateral => [CE]≡[AC].
Dar [AB]≡[AC], rezulta [BD]≡[AB].

[BC]≡[BC]                 } (LUL)
<DBC≡<ECB             } => ΔDBC≡ΔECB => [CD]≡[BE] (1).
[BD]≡[CE]                 }

m(<DBC)=m(<DBA)+m(<ABC).
m(<ABF)=m(<CBF)+m(<ABC),
Dar m(<DBA)=m(CBF)=60* => m(<DBC)=m(<ABF).

[BD]≡[AB]                       } (LUL)
<DBC≡<ABF                   } => ΔBCD≡ΔBFA => [CD]≡[AF] (2).
[BC]≡[BF] (echilateral)     }

Din (1) si (2) => [AF]≡[CD]≡[BE].

2.
$a^{2}=bc~\Rightarrow abc= a^{3}. \\ b^{2} =ac ~\Rightarrow abc= b^{3}. \\ Rezulta~ca~ a^{3}= b^{3} \Rightarrow a=b. \\ a^{2}=bc \Rightarrow c= \frac{ a^{2} }{b} ,~dar~a=b~\Rightarrow~c= \frac{ b^{2} }{b}=b. \\ \\ Avem~a=b~si~b=c,~rezulta~\boxed{a=b=c}~(adica~triunghiul~este~ \\ ECHILATERAL)$

Desenul de la prima problema ([AB]≡[AC]) este mai jos: