Question

DAU COROANA

1)In triunghiul ABC , D este mijlocul lui [BC], E apartine ( AB) F apartine (AC), astfel incat unghiul ADE congruent cu unghiul BDE si unghiul ADF congruent cu unghiul FDC , iar M si N sunt mijloacele segmentelor [AE] respectiv [AF]. Aratati ca : AM pe AN = ME pe NF = EB pe FC.

Answer 1

Daca M si n sunt mijloacele segmentelor AE si AF, este clar ca AM/AN=ME/NF,
deoarece AM = ME si AN = NF.

Folosind proprietatile rapoartelor derivate ==> AM/AN = ME/NF = (AM+ME)/(AN+NF) = AE/AF 

Teorema bisectoarei lui D in ΔADC: AF/FC = AD/CD
Teorema bisectoarei lui D in ΔADB: AE/EB = AD/BD

BD = CD ==> AF/FC = AE/EB ==> FE || CB (reciproca teoremei lui Thales) ==> AE/AF = EB/FC ==> AE/AF = AM/AN = ME/NF = EB/FC