Question

Dau coroana cine ma ajuta +65 de puncte ​

Answer 1

Răspuns:

"Uc" banuiesc ca inseamna ultima cifra.

1) $3^{42}=3^{40+2}=3^{40}\cdot 3^2 = 3^{4\cdot 10}\cdot 9 = (3^4)^{10}\cdot 9= 81^{10}\cdot 9$

Ultima cifra a lui $81^{10}$ este 1 (pentru ca ultima cifra a lui 81 e 1).

Rezulta ca ultima cifra a lui $3^{42}$ este 9.

$2^{43}=2^{40}\cdot 2^3 = 2^{8\cdot 5}\cdot 8 = (2^8)^5\cdot 8 = 256^5 \cdot 8$

Ultima cifra a lui $256^5$ este 6 (pentru ca ultima cifra a lui 256 e 6). Rezulta ca ultima cifra a lui $2^43$ este ultima cifra a lui 6\cdot 8=48, adica este 8.

Atunci $Uc(3^{42}+2^{43})=Uc(9+8)=Uc(17)=7$.

2) $Uc(2^{2018})=Uc(2^{2016}\cdot 2^2)=Uc(16^{504}\cdot 4) =Uc(6\cdot 4)=Uc(24)=4$.

$Uc(3^{2019})=Uc(3^{2016}\cdot 3^3)=Uc(81^{504}\cdot 27)=Uc(1\cdot 27)=7$

$Uc(4^{2017})=Uc(4^{2016}\cdot 4)=Uc(16^{1008}\cdot 4)=Uc(6\cdot 4)=Uc(24)=4$

$Uc(5^{2020})=5$

Prin urmare Uc(...)=Uc(4+7+4+5)=Uc(20)=0.

3)$Uc(67^{38})=Uc(7^{38})=Uc(49^{19})=Uc(9^{19})=Uc(81^9\cdot 9)=Uc(1\cdot 9)=9$

$Uc(92^{43})=Uc(2^{43})=Uc(2^{40}\cdot 2^3)=Uc(16^{10}\cdot 8)=Uc(6\cdot 8)=Uc(48)=8$

Rezultatul = Uc(9+8)=7.

4) $Uc(1998^{1999})=Uc(8^{1999})=Uc((2^3)^{1999})=Uc(2^{5997}) =Uc(2^{5996}\cdot 2)=Uc(16^{1499}\cdot 2)=Uc(6\cdot 2)=2$

5) $Uc(11^3+22^3+\cdots+99^3)=Uc(1^3+2^3+\cdot+9^3)=Uc(1+8+7+4+5+6+3+2+9)=Uc(45)=5$

Exista si formula $1^3+2^3+\cdots+9^3=\left(\frac{9\cdot 10}{2}\right)^2 = 45^2$ dar nu cred ca ai facut-o.