Question

Dau coroana , cred ca se foloseste reducerea la absurd

Aratati ca nu exista numere intregi x si y astfel incat (2x)^2 - (3y)^2 =7

Answer 1

2x² -3y² =7 unde x;y∈Z ;

Presupunem ca x=y sau x=-y => 2x² -3y² =-x²=-y² =7 dar deoarece pentru orice x;y∈Z => x² >= 0 respectiv y² >= 0 => -x²=-y² =7 => nu exista solutii in Z deoarece 0=0=7 => contradictie sau 7 < 0 => fals . Asadar x≠y .

Daca x=0 => -3y² =7 ,imposibil dar pentru y=0 => 2x² =7 => x=√7/2 ∈Z ,fals deoarece 7/2 nu este patrat perfect (natural) . Deci x≠y a.i. x≠0 si y≠0 .

Daca ambele numere x si y au aceeasi paritate (ambele pare sau impare) =>

pentru x si y pare => 2/x² si 2/y² <=> 2/(2x² -3y²) <=> 2/7 ,care este fals sau

pentru x si y impare => 2/2x² si 3y² este impar (y² este impar iar 3 impar => 3y² impar) => 2x² -3y² numar impar .

Daca x este par iar y este impar => 2/2x² si 3y² este impar => 2x² -3y² numar impar .

Daca x este impar iar y este impar => 2/2x² si 3y² este impar => 2x² -3y² numar impar ;putem zice ca ultimele trei propozitii conduc spre o contrazicere ,deoarece stim ca un patrat perfect poate fi de forma 4k sau 4k+1 ,unde k∈N => analizand toate cele 3 cazuri posibile =>

2·(4k+1)-3·(4z+1) =7 <=> 8k+2-12z-3=7 <=> 8k-12z=8 <=> 2k-3z=2 sau k-3/2 ·z=1 => nu avem solutii (z∈N) .

2·4k-3·(4z+1) =7 <=> 8k-12z-3=7 <=> 8k-12z=10 <=> 4k-6z=5 sau k-3/2 ·z=5/4 => nu avem solutii .

2·(4k+1)-3·4z =7 <=> 8k+2-12z=7 <=> 8k-12z=5 sau k-3/2 ·z=5/8 => nu avem solutii .

In concluzie ,nu exista numere x,y∈Z a.i. 2x² -3y²=7 .