Question

Dau coroana . cred ca se foloseste reducerea la absurd

Fie n aprtine N astfel inca (2la puterea n) - 1 este numar prim . Aratati ca n este numar prim .

Answer 1

Observam ca pentru n∈N ,n > 0 => 2ⁿ -1 nu este numar par ;daca n=0 => 2ⁿ -1=1-1=0 ,care nu este nici numar prim si nici numar compus => n > 0 .

Numarul 2ⁿ -1 mai poate fi scris astfel

2ⁿ -1=2ⁿ -1ⁿ si aplicand binomul lui Newton avem urmatoarea egalitate

2ⁿ -1ⁿ=(2-1)·(2ⁿ⁻¹ +2ⁿ⁻² +...+1ⁿ⁻¹)=2ⁿ⁻¹ +2ⁿ⁻² +...+1ⁿ⁻¹ ,dar deoarece 2ⁿ -1 este numar prim <=> 2ⁿ⁻¹ +2ⁿ⁻² +...+1ⁿ⁻¹ numar prim <=> n sa fie prim .

Asadar ,2ⁿ -1 este numar prim daca si numai daca n este numar prim.