Question

Dau coroana :)
Determinati numarul fractiilor ireductibile si subunitare care au suma dintre numarator si numitor egala cu 2015

Answer 1

Fractiile subunitare care au suma dintre numarator si numitor egala cu 2015 sunt:
1/2014,2/2013,..,1007/1008, adica 1007 fractii. Acum sa stabilim cate din acestea sunt ireductibile. Stabilim intai cate sunt reductibile.
Fie a/b , a<b si a+b=2015.
Fie d un divizor comun al numerelor a si b prin care se simplifica fractia a/b.
d/a si d/b=>d/(a+b)=>d/2015
Deoarece 2015=19x53 deducem d poate fi 19 sau 53.
Notam A=multimea fractiilor care se simplifica prin 19
B=multimea fractiilor care se simplifica prin 53.Are loc egalitatea de multimi:
|AUB|=|A|+|B|-|A∧B|(1)
Fie fractia a/b∈A=>a=19x si b=19y=>19x+19y=1007=>x+y=53 si 0<x<y=>
|A|=52:2=26
Fie fractia a/b∈B=>a=53x si b=53y=>53x+53y=1007=>x+y=19 si 0<x<y=>
|A|=18:2=9
|A∧B|=0
Inlocuind in relatia(1) obtinem:|AUB|=26+9-0=35 adica exista 35 fractii reductibile. Numarul fractiilor ireductibile va fi 1007-35=972.