Question

DAU COROANA fIE TETRAEDUL ABCD M APARTINE (AB) , N(AC), P MIJLOCUL LUI CD SI Q MIJLOCUL LUI BD
DACA MA=2 , MB=4 , NA =3 , NC=6 ARATATI CA M,N,P SI Q SUNT COPLANARE SI PRECIZATI NATURA PATRULATERULUI MNPQ

Answer 1

A) Aratati ca M,N,P,Q -puncte coplanare
In triunghiul ABC 
[tex] \frac{AM}{MB}= \frac{2}{4}= \frac{1}{2} [/tex] (1)
$\frac{AN}{ND}= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (2)

Din (1) si (2) => $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{ND} =\ \textgreater \ prin reciproca Teroremei lui Thales MN$ ║ BD (5)

In triunghiul BDC
BQ=QC (3)
DP=PC (4)

Din (3) si (4) => QP║BD  si QP=$\frac{1}{2}BD$ (6)

DIN (5) si (6) => MN║QP => EXISTA (MN;QP) =>M,N,Q,P = coplanare

b)Aflati natura patrulaterului MNPQ

Δ ABC
MN║BC => prin terorema fundamentala a asemanarii ca :Δ ABC ≈ ΔAMN ⇒$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} = \frac{MN}{BC} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{MN}{BC}$

$\frac{2}{6} = \frac{MN}{BC}$⇒$MN= \frac{2BC}{6} = \frac{BC}{3}$ (1)
$QP= \frac{BC}{2}$ (2)

Din (1) si (2) ⇒MN ≠QP (3)
MN║QP (4)
 

Din (3) si (4) ⇒MNPQ=trapez