Question

Dau coroană , ma abonez , multumesc si 5 stele cine rezolva problemele astea 2:​

Answer 1

Răspuns:

1.

a)

∡QAM ≡ ∡EAN (opuse la varf)  ⇒  ∡MAB + ∡BAD = ∡NAE + ∡EAD

⇒ ∡MAD ≡ ∡NAD

AM ≡ AN (prin constructie)

AD latura comuna

⇒ (cazul L.U.L.)  Δ MAD ≡ Δ NAD ⇒ MD ≡ ND ⇒ Δ MDN isoscel

b)

Δ MDN isosccel ⇒ ∡AMD ≡ ∡AND

AM ≡ AN

∡MAB ≡ ∡NAE

⇒ (cazul U.L.U.)  Δ AMB ≡ Δ ANE

c)

notam cu O intersectia segmentelor AD cu BE

Δ AMB ≡ Δ ANE  ⇒ AB ≡ AE

∡BAO ≡ ∡EAO

AO latura comuna

⇒ (cazul L.U.L.)  Δ ABO ≡ Δ AEO ⇒ ∡AOB ≡ ∡AOE

B, O, E coliniare ⇒ ∡AOB = ∡AOE = 180° : 2 = 90°

⇔ AD ⊥ BE

d)

∡QAM ≡ ∡EAN (opuse la varf)  ⇒  ∡MAB + ∡BAD = ∡NAE + ∡EAD

⇒ ∡MAD ≡ ∡NAD

M, A, N coliniare ⇒ ∡MAD = ∡NAD = 180° : 2 = 90°

⇔ MN ⊥ AD

cum AD ⊥ BE  ⇒  MN ║ BE

2.

a)

prin constructie, PN ║ MQ

MP ⊥ DC  si  DC ║ AB  ⇒  MP ⊥ AB

cum si NQ ⊥ AB  ⇒  MP ║ NQ

⇒ MQNP paralelogram

MP ⊥ PN ⇒ MQNP dreptunghi

b)

este evident din desen ca perimetrul ABCD este mai mare decat perimetrul AQPD; sa aratam si cu cat mai mare

ducem DH ⊥ AB, cu H ∈ AB

similar cu demonstratia de la pct. a), avem ca DHMP este dreptunghi, deci laturile sale opuse sunt egale

in ΔADH:

∡AHD = 60° ⇒ ∡ADH = 30°

sin(∡ADH) = AH / AD = 1 / 2

AH = AD / 2 = 6 / 2 = 3

HM = AM - AH = (10 : 2) - 3 = 2

sin(∡DAB) = DH / AD = √3 / 2

DH = 6 * √3 / 2 = 3√3

DHMP dreptunghi ⇒ HM ≡ DP

⇒ PN = DM - DP = (10 : 2) - 2 = 3

QN ≡ PM ≡ DH ⇒ QN = 3√3

Pitagora in ΔPNQ:

PQ = √(9 + 27) = √36 = 6

⇒ P(AQPD) = 8 + 2 + 2 * 6 = 22 (m)

P(ABCD) = 2 * 10 + 2 * 6 = 32 (m)

Mihai a alergat cu 10 m mai mult decat Andrei

Explicație pas cu pas: