DAU COROANA nu inteleg tot cinciu si 6 b). va rog
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
5. a) sau b) se fac pe aceeasi idee
a) verificam mai intai daca are loc inegalitatea pentru b = 0:
a² + a*0 + 0² = a² care este ≥ 0 , oricare ar fi a ∈ R (1)
acum consideram b ∈R, b ≠ 0 , si notam x = a/b
avem asa:
a² + ab + b² ≥ 0
impartim totul la b², deoarece b nu este 0 iar b² este > 0 , inseamna ca inegalitatea isi pastreaza semnul.
deci
a²/b² + ab/b² + b²/b² ≥ 0
a²/b² + a/b + 1 ≥ 0
sau
x² + x + 1 ≥ 0
observam ca ecuatia de gradul II : x² + x + 1 =0 nu are solutii in multimea numerelor reale, iar functiei x² + x + 1 este asadar egal cu semnul coeficientului lui x², adica +
deci x² + x + 1 > 0 , si atunci
a² + ab + b² > 0 , oricare ar fi a ∈ R si b ∈ R, b ≠0 (2)
din (1) si (2) rezulta ca
a² + ab + b² ≥ 0 , oricare ar fi a ∈ R si b ∈ R
b) se rezolva tot asa, mai intai verificam pentru b = 0 , apoi notam x = a/b , impartim la b², ajungem la x² - x + 1 care este totdeauna pozitiva.
6.
Notam cu E extresia
E = (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) - (ax + by + cz)² =
= a²x² + a²y² + a²z² + b²x² + b²y² + b²z² + c²x² + c²y² + c²z² - (a²x² + b²y² + c²z² + 2axby + 2axcz + 2bycz) =
= a²x² + a²y² + a²z² + b²x² + b²y² + b²z² + c²x² + c²y² + c²z² - a²x² - b²y² - c²z² - 2aybx - 2azcx - 2bzcy = (a²y² - 2aybx + b²x²) + (a²z² - 2azcx + c²x²) + (b²z² - 2bzcy + c²y²) = (ay - bx)² + (az - cx)² + (bz - cy)² , care fiind suma a trei patrate, este ≥ 0
deci
E ≥ 0
(a² + b² + c²)(x² + y² + z²) - (ax + by + cz)² ≥ 0
(a² + b² + c²)(x² + y² + z²) ≥ (ax + by + cz)² sau
(ax + by + cz)² ≤ (a² + b² + c²)(x² + y² + z²)