Question

Dau coroana! Prin varfurile A si B ale paralelogramului ABCD se duc paralele la BD si AC care se intersucteaza in E. Daca O este centrul paraleloframului, demonstrati ca ABCD este dreptunghi numai si numai daca OAEB este romb! Demonstrare completa, va rog!

Answer 1

Concluzia se mai poate scrie:
ABCD dreptunghi <=> OAEB romb.
Vom face mai intai demonstratia directa, adica ABCD dreptunghi => OAEB romb.
1) Notam cu M un punct de pe paralela la BD dusa prin A si cu N un punct de pe paralela la AC dusa prin B.
Deoarece AM || BD si AD secanta, atunci m(ADB)=m(DAM) (alterne interne)
Analog si cu BN || AC, BC secanta => m(ACB) = m(CBN) (alterne interne)
Deoarece ADB = ACB (triunghiurile ADB si ACB congruente conform cazului C.C), rezulta ca si DAM = CBN
Deoarece M,A,E coliniare si N,B,E coliniare => m(MAE)=m(EBN)=180 de grade

m(MAE)=m(DAM)+m(DAB)+m(BAE) =>
=> 180 = m(DAM)+90+m(BAE)=> m(DAM)+m(BAE)=90
=> m(BAE) =90 - m(DAM)
m(DAM)=m(ADB)
=> m(BAE) = 90 - m(ADB)

m(EBN) = m(CBN)+m(CBA)+m(ABE) => 180 = m(CBN)+90+m(ABE)=>
=> m(ABE)=90-m(CBN)
m(CBN)=m(ACB)
=>m(ABE)=90-m(ACB)

m(ACB)=m(ADB) => m(BAE)=m(ABE) => triunghiul AEB isoscel => AE = EB

In triunghiul OAB: OA = OB => triunghiul OAB isoscel=>
=> m(OAB)=m(OBA)
m(OAB)=90-m(DAC)
m(OBA)=90-m(DBC)
m(DAC)=m(DBC) => m(OAB)=m(OBA)
BC || AD        
BD secanta   
=>m(ADB)=m(DBC)
=> m(OAB)=m(OBA)=m(ABE)=m(BAE)
In triunghiurile OAB si AEB: <OAB=<BAE
<OBA=<ABE
[AB] latura comuna
=> Unghi latura unghi => triunghiul OAB = triunghiul AEB =>
=> OA = AE si OB = BE 
AE = BE
OA = OB
=> OAEB romb
Demonstratia reciproca:
Daca OAEB este romb, atunci OA = OB
OA = OC
OB = OD
=> OA = OB = OC = OD => ABCD dreptunghi(un dreptunghi are diagonalele congruente)