Question

Dau coroana! Sa se arate ca urm functie este continua si sa se calculeze integralele ei :
f : [-3,2] -> R, f(x) = max ( x^2, x+2).

Answer 1

Vei  rezolva  inegalitatea  x²>x+2 <=>
x²-x-2>0
rezolvi  ecuatia  atsata  x1= -1,  x2=2,  Intre  radacini functia  e  negativa  deci
x²-x-2≤0 adica  x²<x-2 Pt  x∈[-1 ,2]∩[-3,2]=[-1,2]
si  x²-x-2>0  in  intervalul (-∞ ,-1)U[2,∞)  ∩[-3,2]=[-3,-1)
Explicitezi  functia
f(x)={ x+2  pt  x∈[-1,2]
{x² pt  x∈[-3, -1)
Problema  continuitatii  se  pune  in  x=-1.Calculezi  limitele  laterale
Ls :  x→-1;  x≤ -1 lim  (x+2)=-1+2=1
Ld: x→ -1 x> -1 lim  (x²=1
f(-1)=-1+2=1
Ls=Ld=f(-1)=1 .Functia  e  continua  in  1  si  este  integrabila  pe  domeniul  de  definitie
I=∫x²dx  x∈[-3 ,-1]dx +∫(x+2)dx  x∈[-1 ,2]
pt x∈[-3, -1]  ∫x²dx=x³/3=conf  formulei  Leibniz  Newton [(-1/3)]³-(-3/3)³]=-1/27+1=26/27
x∈[-1 ,2] ∫(x+2)dx=(x²/2+2x) l-1↑2=4/4+4-1/2-2=5/2
I=26/27+5/2=187/54