Question

DAU COROANA SI 30 PUNCTE LA CEL CE REZOLVA PRIMUL EX. ACESTA .Intr-un triunghi isoscel ABC cu baza BC,(BD este bisectoarea unghiului ABC , D∈(AC). Sa se demonstreze ca BC²=AC · DC daca si numai daca m(∡BAC) = 36°

Answer 1

AB=AC, deci si m(∡ABC)=m(∡ACB) = (180 - 36) ÷ 2 = 144÷2 = 72 grade. Deoarece BD este bisectoarea ∡ABC, rezulta m(∡ABD)=m(∡CBD) = 72÷2 = 36 grade. In ΔBCD, suma unghiurilor este 180, deci m(∡BDC)=180-72-36 = 72 grade. Prin diferenta, m(∡ADB) = 180-72 = 108 grade.
Asadar, am obtinut 2 triunghiuri isoscele in interiorul  ΔABC: ΔABD de baza AB si ΔBCD de baza CD. Observam ca m(∡BAC)=m(∡CBD)=36 grade. Deasemenea, m(∡BCD)=m(BDC)=m(∡ABC)=m(∡ACB)=72 grade.
In concluzie, triunghiurile BCD si ABC sunt asemenea, deci putem scrie urmatoarele relatii: BC / AB = BD / AC = CD / BC. Daca luam prima si a treia fractie, obtinem:
BC^2 = AB * CD
Dar AB=AC, rezulta BC^2 = AC * DC.