Question

DAU COROANAAA!!
O cutie in forma de paralelipiped ABCDA'B'C'D' e separata in 2 compartimente cu ajutorul unei foi de tabla de forma triunghiului D'AC.
Se știe că AB=12 cm,BC=4 radical din 3 cm si CC'=6 radical din 3 cm .
a)Calculati volumul fiecaruia dintre cele doua compartimente
b)Aflati suprafața foii de tabla
c) Determinati lungimea minima a unui creion al cărui vârf este în punctul D ,celălalt capăt sprjinindu-se pe foaia D'AC.

Answer 1

volumul unei piramide triunghiulare dreapta (chiar daca nu e regulata) are formula
V=Abaza*h/3
pentru piramida D'DAC stim ca baza e triunghiul dreptunghic ADC cu aria Aadc=AD*DC/2=4rad3*12/2=24rad3cm patrati
Vol D'DAC=h*Aadc/3=6rad3*24rad3/3=144cm cubi

suprafata=Aria foii de tabla=AriaD'AC
aplicam Pitagora in trei triunghiuri care contin laturile lui A'AC
AD'^2=D'D^2+AD^2=3*36+3*16=156   AD=2rad39
D'C^2=D'D^2+DC^2=3*36+12*12=252    D'C=2rad38
AC^2=AD^2+DC^2=3*16+144=192          AC=8rad3
ducem in triunghiul ADC inaltimea din D (DM cu M apartine lui AC)
avem D'D perpendiculara pe planul ADC, deci si pe DM, DM perpendiculara pe AC, atunci conform teoremei celor trei perpendiculare D'M este perpendiculara pe AC
in triunghiul ADC scriem aria sa in doua forme
A=AD*DC/2=DM*AC/2   deci DM=AD*DC/AC=4rad3*12/8rad3=6cm
aplicam Pitagora in D'DM
D'M^2=D'D^2+DM^2=3*36+6=4*36      D'M=2*6=12cm
atunci aria suprafetei D'AC=D'M*AC/2=12*8rad3/2=48rad3 cm^2

la punctul c) se cere distanta de la D planul(D'AC)
sa o construim
in triunghiul D'DM ducem DQ inaltimea din D (Q apartine lui MD')
am demonstrat anterior ca D'M perpendicular a pe AC si am construit AM perpendicular pe AC. Altfel scris AC perpendiculara pe D'M si pe DM, deci pe doua drepte concurente din planul D'DM, deci AC perpendiculara pe planul D'DM. Rezulta ca AC perpendiculara pe toate dreptele din acest plan, deci AC perpendiculara si pe DQ
dar DQ perpendiculara si pe D'M
avem ca DQ perpendiculara pe 2 drepte concurente din D'AC (pe AC si pe D'M) deci DQ perpendiculara pe planul D'AC si este chiar distanta de la d la plan care se cere in enunt.
valoarea ei o calculam aplicand formula ariei triunghiului D'DM sub 2 forme
A=D'D*DM/2=D'M*DQ/2
atunci DQ=D'D*DM/D'M=6rad3*6/12=3rad3cm