Question

De cate ori limbile ceasului sunt perpenticulare in 24 ore​

Answer 1

Raspuns :

Intr-un interval de 24 de ore limbile ceasului sunt perpendiculare de 44 de ori.

Explicatie :

Se considera o miscare continua (cu o viteza constanta) a acelor ceasului. Dorim sa aflam de cate ori sunt perpendiculare acele ceasului in intervalul orar [00:00; 24:00).

[-] Metoda I de rezolvare :

Se considera doua puncte de pe marginea ceasului corespunzatoare valorilor indicate de cele doua limbi. Pentru simplificarea explicatiei care deja este extrem de lunga consideram ca ceasul este rotund.

Daca consideram x numarul de ore care au trecut de la momentul initial si L circumferinta ceasului atunci in acelasi interval de timp x:

• Punctul corespunzator minutarului parcurge o distanta egala cu $Lx$

• Punctul corespunzator orarului parcurge o distanta egala cu $\frac{Lx}{12}$

Este clar faptul ca punctul corespunzator minutarului parcurge o distanta mai mare decat punctul corespunzator orarului in acelasi interval de timp.

Daca acele ceasului se intalnesc la un moment atunci diferenta distantelor parcurse de cele doua puncte este egala cu un numar intreg de circumferinte $=nL$.

Daca acele ceasului sunt perpendiculare la un moment de timp x atunci intre distantele parcurse de cele doua puncte exista o diferenta egala cu $nL \pm \frac{L}{4}$, unde n este un numar intreg.

Matematic scriem :

$\frac{Lx}{12} +nL \pm\frac{L}{4} =Lx$

Deoarece stim ca circumeferinta unui ceas este nenula ( $L\neq 0$ ) relatia devine :

$\frac{x}{12} +n \pm\frac{1}{4} =x$

Daca explicitam relatia :

$\frac{x}{12} +n +\frac{1}{4} =x\\\\sau\\\\\frac{x}{12} +n -\frac{1}{4} =x$

Recunoastem o forma similara cu ecuatia de gradul I. Stim ca ecuatia de gradul I are maxim o solutie ( Mai precis, pentru fiecare ramura, pentru orice n exista maxim un x care respecta conditia iar pentru orice x exista maxim un n care respecta relatia ).

Stim ca x reprezinta numarul de ore. Intrevalul orar [00:00; 24:00) corespunde $x\in [0,24)$

Pentru a determina numarul de momente in care limbile ceasului sunt perpendiculare trebuie sa determinam numarul de valori intregi ale lui n pentru care relatia de mai sus este adevarata, $x\in [0,24)$.

Practic trebuie sa determinam $Card(M)+Card(N)$ unde

$M=\{n \in Z | \frac{x}{12}+n + \frac{1}{4}=x, x \in(0,24] \}$

$N=\{n \in Z | \frac{x}{12}+n - \frac{1}{4}=x, x \in(0,24] \}$

Prelucram :

$M=\{n \in Z |n \pm \frac{1}{4}= \frac{11x}{12}, x \in(0,24] \}$

$N=\{n \in Z |n - \frac{1}{4}=\frac{11x}{12} , x \in(0,24] \}$

Prelucram M :

$0\leq n + \frac{1}{4} < 22, n\in Z \\\\n \in [-0.25;21.75) \cap Z = \{0,1,2,3,...21\}$

Deci Card(M) = 22

Prelucram N:

$0\leq n - \frac{1}{4} < 22, n\in Z \\\\n \in [0.25;22.75) \cap Z = \{1,2,3,...22\}$

Deci Card(N) = 22

Solutia este Card(M) + Card(N) = 22+22=44

[-] Metoda II de rezolvare :

Am putea contoriza de cate ori limbile sunt perpendiculare in 12 ore. Ceasul se repeta cu o perioada de 12 ore. Putem determina usor apoi de cate ori limbile ceasului sunt perpendiculare in orice durata de timp, deci este o metoda practica, fezabila.

Masura unghiului dintre cele doua limbi este o functie continua. Daca la un moment t1 unghiul este ascutit iar la un alt moment t2 unghiul este obtuz exista cel putin un moment tm, t1<tm<t2 in care unghiul este drept.

Putem arata usor ca intr-un interval de 30 de minute unghiul dintre cele doua limbi este drept maxim o singura data (daca am considera orarul static la ora 12 si minutarul la fara un sfert sau plus un sfert atunci am avea doua momente in interval de 30 de minute. Dar deoarece orarul este mobil si "inainteaza" durata minima in care limbile sunt perpendiculare creste la mai mult de 30 de minute)

Folosind informatiile de mai sus putem verifica tipul unghiului la minutul 00 si la minutul 30 al fiecarei ore. Daca "la fix" unghiul este actutit iar "la si jumatate" unghiul este obtuz (sau invers) atunci unghiul este drept odata in acest interval. Trebuie deci sa facem 24 de verificari. Cazurile speciale sunt reprezentate de ora 9:00 si 3:00 in care limbile sunt perpendiculare "la fix".

[vezi imaginea atasata]

Deci intr-un interval de 12 ore (un ciclu de ceas) limbile sunt perpendiculare de 22 de ori. In interval de 24 de ore (doua cicluri de ceas) limbile sunt perpendiculare de 44 de ori.

[-] Metoda III de rezolvare

Aceasta metoda de rezolvare este putin mai complexa (necesita cunostinte de trigonometrie si analiza matematica). Am explicat pe scurt pasii in fisierul word atasat (nu am putut sa o scriu aici, avem limita de 5000 de caractere pe raspuns).

a542a297d6571cead0ef68f09a82daaa.docx