Question

De demonstrat ca aria oricarui patrulater convex este egala cu semiprodusul lungimilor diagonalelor cu sinusul unghiului dintre ele.

Answer 1

notam patrulaterul convex ABCD
diagonalele AC si DB notam cu O intersectia lor 
notam cu α unghiul DOC=AOB
ducem inaltimea DE cu E apartinand lui AC
ducem inaltimea BF cu F apartinand lui AC
aria patrulaterului este suma ariilor celor 2 triunghiuri ADC si ABC
Aria lui ADC = (ACxDE)/2
Aria lui ABC=(ACxBF)/2
in triunghiul DOE   sin α =DE/DO  ⇒ DE = DO sinα
in triunghiul BOF   sin α =BF/BO  ⇒ BF = BO sinα
Aria lui ABCD = Aria triunghiului ADC+Aria triunghiului ABC=
(ACxDOsinα)/2 + ACxBOsinα)/2 =( ACxDOsinα+ACxBOsinα)/2 = ACsinα(DO+BO)/2=(AC x BD)/2 xsinα