Question

De la 248 pana la 256.. inclusiv cele 2. Dau COROANA + inca 20 puncte.

Answer 1

245)

$\it tg \alpha + ctg \alpha =\dfrac{sin \alpha}{cos \alpha} + \dfrac{cos \alpha}{sin \alpha} = \dfrac{sin^2 \alpha+cos^2 \alpha}{sin \alpha cos \alpha} = \dfrac{1}{sin \alpha cos \alpha} \ \ \ (*)$

Dar,

$\it tg \alpha + ctg \alpha = 2\ \ \ (**)$

Din relațiile (*), (**) rezultă:


$\it 2 = \dfrac{1}{sin \alpha cos \alpha} \Longrightarrow 2sin \alpha cos \alpha =1 \Longrightarrow sin2 \alpha = 1 .$


254)  Să se demonstreze că:

$\it sin{\dfrac{\pi}{8}} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$

--------------------------------------------------------------------------------

Transformăm egalitatea din enunț și vom arăta că aceasta

 este echivalentă cu o egalitate evident adevărată.

Obținem:

$\it \sin^2 {\dfrac{\pi}{8}} = \dfrac{2-\sqrt2}{4}$

Cu formula fundamentală a trigonometriei, rezultă:

[tex]\it \cos^2 {\dfrac{\pi}{8}} = \dfrac{2+\sqrt2}{4} [/tex]

Acum folosim formula :  sin2x = 2sinx·cosx⇒sin²2x = 4 sin²x·cos²x


$\it sin^2\dfrac{\pi}{4} = sin^2 (2\cdot\dfrac{\pi}{8}) = 4 \sin^2\dfrac{\pi}{8}cos^2\dfrac{\pi}{8} =4\dfrac{2-\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{2+\sqrt2}{4}\ \ \ (*)$

Dar,

$\it sin^2\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}\ \ \ (**)$

Din relațiile (*), (**), rezultă:


$\it \dfrac{1}{2} =4\dfrac{2-\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{2+\sqrt2}{4} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2} =\dfrac{4-2}{4} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2} \ (A)$