Question

De la subiectul III exercițiul 2. b) și c) . Mulțumesc !

Answer 1

b) $ln^{\prime}{x}=\frac{1}{x}$
    $ln^{\prime}{f(x)}=\frac{f^{\prime}{x}}{f(x)}$ Deci cam vezi care este primitiva integralei
   $\int_{0}^{2}{\frac{f^{\prime}{x}}{f(x)}}=ln{f(x)}|_{0}^{2}=ln{f(2)}-ln{f(0)}=ln{(2^{2}-2*2+5)}-ln{(0^2-2*0+5)}=ln{5}-ln{5}=0$
c) $\int_{2014}^{2015}{\frac{1}{f(x)}dx}=\int_{2014}^{2015}{\frac{1}{x^{2}-2x+5}dx}=\int_{2014}^{2015}{\frac{1}{x^{2}-2x+1+4}dx}=\int_{2014}^{2015}{\frac{1}{(x-1)^{2}+4}dx}=\int_{2014}^{2015}{\frac{4}{(x-1)^{2}+2^{2}}*\frac{1}{4}dx}=\frac{1}{4}arctg\frac{x-1}{2}|_{2014}^{2015}=\frac{1}{4}arctg\frac{2015-1}{2}-\frac{1}{4}arctg\frac{2014-1}{2}=\frac{1}{4}(arctg 1012-arctg\frac{2013}{2})$    
Deci relatia finala care trebuie demonstrata este ca
$\frac{1}{4}(arctg 1012-arctg\frac{2013}{2})\leq \frac{1}{4}\Rightarrow <span>(arctg 1012-arctg\frac{2013}{2})\leq 1</span>$ ceea ce este adevarat pentru ca pentru numere foarte mari arctg tinde sa fie pi/2, deci acea diferenta este foarte mica.