Question

Demnostrați că √2 nu este rațional

Answer 1

[tex]\text{Se presupune ca }\sqrt2\text{ este rational.Atunci poate fi scris sub forma }\frac{m}{n}\\ \text{,cu conditia ca (m,n)=1 .Avem asadar:}\\ \sqrt{2}=\frac{m}{n}\\ n\sqrt2=m |()^2\\ 2n^2=m^2\\ \text{Deoarece membrul stang este multiplu de 2,inseamna ca m este }\\ \text{numar par.Altfel spus: m=2k},k\in\mathbb{Z};\\ 2n^2=(2k)^2\\ 2n^2=4k^2|:2\\ n^2=2k^2,\text{de unde rezulta ca n este numar par}. \\ \text{Cum m si n sunt numere pare inseamna ca(m,n)=2,contradictie cu }\\ \text{presupunerea facuta.} [/tex]