Question

Demonstati identitatea √radical mare t²+2+2√t²+1-√radical mare √t²+2-2√t²+1 egal cu 2

Answer 1

√t²+2+2√t²+1-√√t²+2-2√t²+1
√t²+2+2|t|+1-√|t|+2-2|t|+1
√(t+1)²+2-√(t-1)²/t+2
Pentru a scapa de radical vom ridica la patrat de unde avem
√[(t+1)²+2]²-√[(t-1)²/t+2]²
(t+1)²+2-[(t-1)²/t+2]
t²+2|t|+1+2-[(t²-2|t|+1)/t+2]
t²+2|t|+1-(t²-2|t|+1)/t
Amplificam cu 1/t pentru obtinerea numitorului comun de unde
(t²+2|t|+1-t²+2|t|-1)/2t
4|t|/2t
=4t/2t=2 ⇒identitatea este adevarata;

Answer 2

"√radical mare t²+2+2√t²+1-√radical mare √t²+2-2√t²+1 egal cu 2"

$\it{\sqrt{t^2+2+2\sqrt{t^2+1}}} -{\sqrt{t^2+2-2\sqrt{t^2+1}}} =2$

$\it Notam\ \ t^2+1 = x \Longrightarrow \ x\ \geq \ 1,\ \forall x\in\mathbb{R}$

$\it Egalitatea \ devine:$

$\sqrt{x+1+2\sqrt x} -\sqrt{x+1-2\sqrt x} =2\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt x +1)^2} -\sqrt{(\sqrt x -1)^2} =2$

$\it \Leftrightarrow |\sqrt x+1| - |\sqrt x -1 | =2$

Deoarece x ≥ 1 ⇒ expresiile din cele două module sunt nenegative, iar ultima egalitate devine:

[tex]\it \sqrt x + 1 -(\sqrt x-1) =2 \Leftrightarrow \sqrt x + 1 -\sqrt x+1 =2 \Leftrightarrow 1+1=2 \Leftrightarrow \\\;\\ \Leftrightarrow \it2= 2\ (A)[/tex]