Question

Demonstrari ca produsul a trei numere naturale consecutive este
un multiplu de 6​

Answer 1

Salutare !

(n-1)×n×(n+1)

dintre cele 3 numere , macar unul e par

de aici rezulta ca produsul este divizibil prin 2

n poate fi forma de 3k => produsul este divizibil prin 3

sau de forma 3k+1 => (n-1)=3k =>divizibil prin 3

sau 3k+2 => (n+1)=3k+3=3(k+1) => divizibil prin 3

fiind divizibil prin 2 si 3 => produsul este divizibil prin 6

Answer 2

Notam cu

a - primul numar

a+1 - al doilea numar

a+2 al treilea numar

P - produsul

P(a): a·(a+1)·(a+2) = M₆

presupunem daca numerele ar fi 1,2,3 sau 2,3,4, sau 3,4,5...

1·2·3 = 6 = M₆ (adevarat)

2·3·4 = 6·4 = M₆ (adevarat)

3·4·5 = 12·5 = M₆ (adevarat)

..........

P(a+1):  (a+1)·(a+2)·(a+3) = a·(a+1)·(a+2) + 3·(a+1)·(a+2)  

                                   dar  P(a): a·(a+1)·(a+2) = M₆         } ⇒ M₆ + 3(a+1)(a+2)

Stim ca produsul oricaror doua numere naturale consecutive este par, se divide cu 2 si ca cel putin unul dintre numere este par ⇒ (a+1)(a+2) = M₂

inlocuim si vom avea:

P(a+1):  (a+1)·(a+2)·(a+3) = M₆ + 3·M₂ =  M₆ + M₆  = M₆