Question

Demonstrati  1/a  + 1/b > 4/a+b   


Stie cineva ??

Answer 1

Salut,

Ai uitat să precizezi că a şi b sunt mai mari decât zero !

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{b+a}{ab}-\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\\=\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab(a+b)}=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab(a+b)}=\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geqslant0.$

Ultima inegalitate e adevărată pentru că a şi b sunt pozitive şi orice pătrat este mai mare sau egal decât zero. Ultima inegalitate este echivalentă cu cea din enunţ, deci problema este rezolvată.

Green eyes.