Question

demonstrati ca 1+3+5+7+..+31 este patrat perfect

Answer 1

modul 1:
1+3+5+7+.....+31
Aceasta suma nu este una Gauss, pentru ca numerele nu sunt consecutive si nici nu pleaca din 1. De asemenea, observam ca nu putem da niciun factor comun. Prin urmare vom aplica metoda contorului. Pentru aceasta trebuie sa observam din cat in cat cresc numerele. In cazul de fata cresc din 2 in 2. Vom scrie fiecare numar din cadrul sumei ca fiind un produs de 2 * y + 1, unde y va diferi de la un numar la altul, iar 2, care este contorul, sta pe loc. Prin urmare vom avea:
1 = 2 * 0 + 1
3 = 2 * 1 + 1
5 = 2 * 2 + 1
.....................
....................
.....................
31=2*15+1
S=(2*0+1)+(2*1+1)+(2*2+1)+.......+(2*15+1)
Desfacem paranteza si regrupam termenii adunarii astfel:
S=2*0+2*1+2*2+......+2*15+1+1+1+1+.....+1
1 se aduna de 16 ori (pentru ca numarul cu care s-a inmultit cu 2 la ultimul termen al sumei, si anume 31, este 15, iar pentru ca suma nu a pornit din 1 ci din 0, se mai adauga 1 => 16)
Dam factor comun pe 2:
S=0+2*(1+2+3+.....+15)+16
S=2*15*(15+1):2+16
S=15*16+16
S=256
256=16²⇒patrat perfect
modul 2:
Formula lui Gauss pentru sume de numere impare (suma incepe cu numarul 1)
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n x n
In cazul nostru 2n-1 este 31
2n-1=31
2n=31+1
2n=32
n=32:2
n=16
S=n x n=16*16=16²⇒patrat perfect
modul 3:
1+3+5+7+....+31=1+(1+2)+(1+4)+.........+(1+30)
(1+1+1+.....+1)+2(1+2+3+.......+15)
16+2*15*(15+1):2=16+15*16=16+240=256=16²⇒patrat perfect
modul 4:
1+3+5+7+...+31=(31+1)*(numarul de termeni):2
numarul de termeni=(31-1):2+1=30:2+1=15+1=16
S=(31+1)*16:2=32*8=256=16²⇒patrat perfct
Sper ca te-am ajutat!
E bine?