Question

Demonstrati ca (1^n+2^n+3^n+4^n) divizibil cu 10 , pentru orice n nr natular , nedivizibil cu 4

Answer 1

(1^n+2^n+3^n+4^n)

Analizam fiecare termen, pentru a analiza ultima cifra:

1 -la orice putere are ultima cifra 1

2 -are ultima cifra in seturi de 4: 2,4,8,6 , spre lamurire:
2¹=2
2²=4
2³=8
2⁴=16, samd

3 -Are ultima cifra in seturi de 4: 3,9,7,1

4 -Are ultima cifra in seturi de 2, dar daca le tranformam pt comparatie cu cele de mai sus in seturi de 4 avem : 4,6,4,6

Deci, daca n :4= ceva rest 0, n este divizibil cu 4, deci este exclus din tema exercitiului nostru.

Deci, daca n :4= ceva rest 1,  atunci ultima cifra va fi 0, pt ca adunam prima cifra din fiecare set de 4:
1+2+3+4 =10

Deci, daca n :4= ceva rest 2,  atunci ultima cifra va fi 0, pt ca adunam a doua cifra din fiecare set de 4:
1+4+9+6 =20

Deci, daca n :3= ceva rest 2,  atunci ultima cifra va fi 0, pt ca adunam a treia cifra din fiecare set de 4:
1+8+7+4 =20

Deci, in orice caz,  (1^n+2^n+3^n+4^n) are ultima cifra 0, deci este divizibil cu 10 , pentru orice n nr natular , nedivizibil cu 4.

Answer 2

 Cazul I: Fie n=4k+1
1^n = 1 indiferent de n
2^(4k+1) are ultima cifra ca 2^1 adica 2
3^(4k+1)are ultima cifra ca 3^1 adica 3
4^(4k+1) are ultima cifra ca 4^1 adica 4
Daca le adunam rezulta ca  suma se termina in 0 adica este divizibila cu 10

Cazul II : Fie n= 4k+2
2^(4k+2) are ultima cifra ca 2^2 adica 4
3^(4k+2) are ultima cifra ca 3^2 adica 9
4^(4k+2) are ultima cifra 6
daca le adunam rezulta ca suma se termina in 0 (rezultatul adunarii este 20)

Cazul III Fie n=4k+3
2^(4k+3) are ultima cifra ca 2^3 adica 8
3^(4k+3) are ultima cifra ca 3^3 adica 7
4^(4k+3) a re ultima cifra 4
daca le adunam ne da 20 adica suma este divizibila cu 10

Acestea sunt toate cazurile posibile de numere nedivizibile cu 4,  rezulta ca suma este divizibila cu 10 pt orice n nedivizibil cu 4