Question

demonstrati ca (1^n+2^n+3^n+4^n) este divizibil cu 10, pentru orice numar natural n, ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$S = {1}^{n} + {2}^{n} + {3}^{n} + {4}^{n}$

pentru n = 0

$S = {1}^{n} + {2}^{n} + {3}^{n} + {4}^{n} = \\ = {1}^{0} + {2}^{0} + {3}^{0} + {4}^{0} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \\ \implies \bf S \not \vdots \ 10$

pentru n ≠ 0

• 1 ridicat la orice putere este 1
• ultima cifră a puterilor lui 2 și 3 se repetă la fiecare 4 puteri consecutive
• ultima cifră a puterilor lui 4 se repetă la fiecare 2 puteri consecutive

n = 4k, k > 0

$u(S) = u({1}^{4k} + {2}^{4k} + {3}^{4k} + {4}^{4k}) = \\ = u(u({1}^{4k}) + u({2}^{4k}) + u({3}^{4k}) + u({4}^{4k})) \\ = u(u({1}^{4}) + u({2}^{4}) + u({3}^{4}) + u({4}^{4})) \\ = u(1 + 6 + 1 + 6) = u(14) = 4 \\\implies \bf S \not \vdots \ 10$

n = 4k+1, k > 0

$u(S) = u({1}^{4k + 1} + {2}^{4k + 1} + {3}^{4k + 1} + {4}^{4k + 1}) = \\ = u(u({1}^{4k + 1}) + u({2}^{4k + 1}) + u({3}^{4k + 1}) + u({4}^{4k + 1})) \\ = u(u({1}^{1}) + u({2}^{1}) + u({3}^{1}) + u({4}^{1})) \\ = u(1 + 2 + 3 + 4) = u(10) = 0 \\\implies \bf S \ \vdots \ 10$

n = 4k+2, k > 0

$u(S) = u({1}^{4k + 2} + {2}^{4k + 2} + {3}^{4k + 2} + {4}^{4k + 2}) = \\ = u(u({1}^{4k + 2}) + u({2}^{4k + 2}) + u({3}^{4k + 2}) + u({4}^{4k + 2})) \\ = u(u({1}^{2}) + u({2}^{2}) + u({3}^{2}) + u({4}^{2})) \\ = u(1 + 4 + 9 + 6) = u(20) = 0 \\ \implies \bf S \ \vdots \ 10$

n = 4k+3, k > 0

$u(S) = u({1}^{4k + 3} + {2}^{4k + 3} + {3}^{4k + 3} + {4}^{4k + 3}) = \\ = u(u({1}^{4k + 3}) + u({2}^{4k + 3}) + u({3}^{4k + 3}) + u({4}^{4k + 3})) \\ = u(u({1}^{3}) + u({2}^{3}) + u({3}^{3}) + u({4}^{3})) \\ = u(1 + 8 + 7 + 4) = u(20) = 0 \\\implies \bf S \ \vdots \ 10$

=>

S este divizibil cu 10 pentru orice număr natural n ≠ 4k, k ∈ N