Question

Demonstrati ca √10^{lg 4} = 10^{lg 2} =2
lg=logaritm in baza 10

Answer 1

pe √10^{lg 4} il scriu
$(10^{ \frac{1}{2} } )^{lg4}$
deoarece radicalul acela se poate scrie ca 10^{1/2}

stim ca atunci cand este putere ca putere, se pastreaza baza si se inmultesc puterile
deci numarul devine
 $10^{ \frac{1}{2} *lg4}$

de asemenea stim ca x*ln(y)=ln(x^{y})
deci rezulta
$10^{ lg(4^{\frac{1}{2}})}$

dupa care, pe 4 la 1/2 il scriu cu radical (cum era inainte 10)
si scriu direct ca radical din 4=2
rezulta ca prima egalitate este adevarata
√10^{lg 4} = 10^{lg 2}

si, pentru a doua, 10^{lg 2}=2, este destul de evident ca asa este, dar daca chiar vrei o demonstratie, trebuie sa faci logaritm in baza 10 si din ce e in stanga egalului si din ce e in dreapta, si rezulta

$lg(10^{lg 2}) = lg 2$

si, acum plicam invers cum am aplicat mai devreme la vaza cu 1/2 (cand a trecut la 4) si deci lg 2 iese in fata celuilalt lg (pentru ca este ca putere a lui 10)

deci lg 2 * lg 10 = lg 2
si, dupa cum stim lg 10=1
deci
lg 2= lg 2