Question

Demonstrati ca : 1² +2² +3² +...+ n² = [ n(n+1)(2n+1) ] /6

Answer 1

Pentru n=1 afirmaţia este adevărată: $1=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}$.
Presupunem că $1^2+2^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ şi demonstrăm că $1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$. Într-adevăr
,$1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)^2+\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$=\frac{6(k+1)^2+k(k+1)(2k+1)}{6}=\frac{(k+1)\left[ 6(k+1)+k(2k+1) \right]}{6}$ $=\frac{(k+1)\left[ 2k^2+7k+6 \right]}{6}=\frac{(k+1)\left[ k(2k+3)+2(2k+3) \right]}{6}$$=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
Deci, conform principiului inducţiei matematice, $\sum\limits_{k=1}^nk^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$