Question

Demonstrati ca : 2 ^ 7n+3 +3 ^2n+1 *5 ^4n+1 este divizibil cu 23 , pt orice n natural.

Answer 1

2^(7n+3) +3^(2n+1) ×5^(4n+1) este divizibil cu 23 ⇒
P(n)=2^(7n+3) +3^(2n+1) ×5^(4n+1)=23t n∈N  t∈Z
1.Verificam P(0)    n=0
2^(7×0+3) +3^(2×0+1) ×5^(4×0+1)=
=2^3 +3^1 ×5^1=8+15=23  
2.Presupunem ca P(k) este adevarat
2^(7k+3) +3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23m       k∈N  m∈Z
2^(7k+3) +3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23m
2^(7k+3) =23m-3^(2k+1) ×5^(4k+1)   (1)

3.Sa demonstram ca P(k+1) este adevarat
2^[7(k+1)+3] +3^[2(k+1)+1] ×5^[4(k+1)+1]=23p       k∈N  m∈Z
2^(7k+10) +3^(2k+3) ×5^(4k+5)=23p    
2^7×2^(7k+3) +3^2×5^4×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p    
128×2^(7k+3) +5625×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p    
inlocuim 2^(7k+3) =23m-3^(2k+1) ×5^(4k+1)   din (1)
2944m-128×3^(2k+1) ×5^(4k+1)  +5625×3^(2k+1) ×5^(4k+1)=23p
2944m-5497×3^(2k+1) ×5^(4k+1) =23p    
23[128m-239×3^(2k+1) ×5^(4k+1)] =23p

deoarece P(0) este adevarat si din P(k) ⇒P(k+1) adevarat  rezulta ca P(n) este adevarat