Question

Demonstrați că
(2 la 31 .5la 30 + 1) este divizibil cu 3
(6 la 25 - 1 ) este divizibil cu 5
(21 la 31 +29) este divizibil cu 10

Answer 1

Cazul I: Fie n=4k+1
1^n = 1 indiferent de n
2^(4k+1) are ultima cifra ca 2^1 adica 2
3^(4k+1)are ultima cifra ca 3^1 adica 3
4^(4k+1) are ultima cifra ca 4^1 adica 4
Daca le adunam rezulta ca  suma se termina in 0 adica este divizibila cu 10

Cazul II : Fie n= 4k+2
2^(4k+2) are ultima cifra ca 2^2 adica 4
3^(4k+2) are ultima cifra ca 3^2 adica 9
4^(4k+2) are ultima cifra 6
daca le adunam rezulta ca suma se termina in 0 (rezultatul adunarii este 20)

Cazul III Fie n=4k+3
2^(4k+3) are ultima cifra ca 2^3 adica 8
3^(4k+3) are ultima cifra ca 3^3 adica 7
4^(4k+3) a re ultima cifra 4
daca le adunam ne da 20 adica suma este divizibila cu 10

Acestea sunt toate cazurile posibile de numere nedivizibile cu 4,  rezulta ca suma este divizibila cu 10 pt orice n nedivizibil cu 4