Question

Demonstrati ca: 2^(n)>n^(2)+n+1 , oricare ar fi n>=5.

Answer 1

facem cu inductie
1) pentru n=6 avem 64>43
2) presupunem adevarata 2^n > n^2 + n + 1
3) sa aratam ca 2^(n+1) >(n+1)^2+n+1+1=n^2+3n+2

pentru aceasta inmultim cu 2 inegalitatea (adevarta)  2)
2^(n+1)>2n^2+2n+2 inegalitate adevarata
sa demonstram ca 2n^2 + 2n + 2 este mai mare ca n^2+3n+2, sau

2n^2+2n+2-n^2-3n-2>0 sau sa aratam ca:
n^2-n>0
n(n-1)>0 inegalitate adevarata deoarece n>5

prin urmare am demonstrat ca 2^(n+1)>2n^2+2n+2>(n+1)^2 + n+1+1 din care  deducem ca:
2^(n+1)>(n+1)^2+(n+1)+1 c.c.t.d

se stie ca daca:
a>b si b>c ⇒ a>c