Question

Demonstrați că:
2 supra 5 < 1 supra 2^2 + 1 supra 3^2 + 1 supra 4^2 + ... + 1 supra 9^2 < 8 supra 9. Trebuie ridicați la pătrat doar numitorii, nu întreaga fracție.

Answer 1

n²<n(n+1)
1/n²> 1/n(n+1)
Aplicam si in cazul nostru:
1/2²+1/3²+1/4²+..+1/9²> 1/2*3+1/3*4+....+1/9*10
1/2²+1/3²+1/4²+..+1/9²> 1/2 -1/3+1/3-1/4+....+1/9-1/10
1/2²+1/3²+1/4²+..+1/9²> 1/2 -1/10
1/2²+1/3²+1/4²+..+1/9²>  2/5 (1)

n²>n(n-1)
1/n² < 1/n(n-1)
Aplicam si obtinem:
1/2²+1/3²+1/4²+..+1/9²< 1/2*1+1/3*2+....+1/9*8
1/2²+1/3²+1/4²+..+1/9²< 1-1/2+1/2-1/3+.....+1/8-1/9
1/2²+1/3²+1/4²+..+1/9² < 1-1/9
1/2²+1/3²+1/4²+..+1/9² < 8/9 (2)
Din (1) si (2) ⇒ cerinta problemei
Daca ai intrebari te rog sa mi le adresezi la comentarii.