Question

Demonstrati ca 6+6^3 +6^5 +6^7 +6^9 +.....+6^69 este divizibil cu 210

Answer 1

6+6^3 +6^5 +6^7 +6^9 +.....+6^69 este divizibil cu 210
trebuie sa demonstram ca este divizibil cu 10 si 21
nr termeni
(69-1)/2+1=35 termeni
6 la orice putere se termina in 6   deci  35 termeni x 6 se termina in 0
6+6^3 +6^5 +6^7 +6^9 +.....+6^69 se termina in 0  deci este divizibil cu 10
ii putem grupa cate 7
6+6^3 +6^5 +6^7 +6^9 +.....+6^69=
=(6+6^3 +6^5 +6^7 +6^9 +6^11)+...
...+6^58(6+6^3+6^5+6^7+6^9+6^11)=
=(6+216+7776+279736+10077696+362797056+13060694016)+...
...+6^58(6+216+7776+279736+10077696+362797056+13060694016)=
=13433856702+...+6^58×13433856702=
=21×639707462+...+6^58×21×639707462=
=21×(639707462+...+6^58×639707462) deci divizibil si cu 21