Question

Demonstrati ca 7*25^{n}+2*6^{n+1} se divide cu 19, oricare ar fi n un numar natural

Answer 1

Fie $n\epsilon \mathbb{N}$. Observam ca 25=19+6. Notam numarul respectiv cu N si rescriem folosind observatia iar apoi binomul lui Newton:
$N=7(19+6)^n+2\cdot 6^{n+1}=7\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k19^{n-k}6^k + 2\cdot6^{n+1}$
Stim ca in suma in cazul termenului k=n nu va aparea nicio putere a lui 19 si separam acel termen de suma. Vom avea:
$N=7\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_n^k19^{n-k}6^k + 7\cdot C_n^n\cdot 6^n + 2\cdot6^{n+1}$
$N=7\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_n^k19^{n-k}6^k + 7\cdot 6^n + 2\cdot6^{n+1}$
$N=7\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_n^k19^{n-k}6^k + 6^n(7 + 2\cdot6)=7\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_n^k19^{n-k}6^k + 6^n\cdot 19$
Putem observa ca toti termenii sunt divizibili cu 19, deci N este divizibil cu 19.