Question

Demonstrati ca a=1+5+5 la puterea a doua+5 la puterea a treia+ ... + 5 la puterea 2013 e divizibil cu 6

Answer 1

a=1+5+5²+5³+...+5²⁰¹³/·5
5a=5+5²+5³+5⁴+...+5²⁰¹⁴
5a-a=5²⁰¹⁴-1
4a=5²⁰¹⁴-1⇒a=[5²⁰¹⁴-1]/4⇒u.c[5²⁰¹⁴]=u.c[5]=5;
⇒u.c[5-1]/4=u.c[4/4]=u.c[1]⇒a-nu este divizibil cu 6 ,deoarece a nu este numar par ci impar⇒a este divizibil cu numere[de o cifra ,in secial] impare;

Answer 2

[tex]1+5+5^2+5^3+...+5^{2012}+5^{2013}=\\(1+5)+(5^2+5^3)+...+(5^{2012}+5^{2013})=\\ (1+5)+5(1+5)+....+5^{2012}(1+5)=\\ =6+5\cdot6+...+5^{2012}6=6(1+5+...+5^{2012})\vdots 6[/tex]