Question

Demonstrati ca: (a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b=>6, oricare ar fi a,b,c€(0,+infinit)​

Answer 1

Salut,

Voi aplica inegalitatea dintre media aritmetică Ma și cea geometrică Mg, adică Ma ≥ Mg.

Pentru 2 numere strict pozitive x și y, inegalitea mediilor este așa:

$M_a\geqslant M_g,\ adic\breve{a}\ \dfrac{x+y}2\geqslant\sqrt{x\cdot y}.$

Inegalitatea din enunț pote fi scrisă așa:

$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}\geqslant 6,\ sau\ \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\geqslant 6\ (1).\\\\Aplic\breve{a}m\ inegalitatea\ mediilor\ pentru\ perechea\ de\ numere\ \dfrac{a}{c},\ \dfrac{c}a:\\\\\dfrac{\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}}2\geqslant\sqrt{\dfrac{a}{c}\cdot\dfrac{c}{a}},\ sau\ \dfrac{\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}}2\geqslant 1,\ deci\ \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant 2\ (2).\\\\Dac\breve{a}\ faci\ la\ fel\ pentru\ perechea\ \dfrac{b}{c},\ \dfrac{c}b,\ apoi\ separat\ pentru\ \dfrac{b}{a},\ \dfrac{a}b,\ vei\ ob\c{t}ine:\\\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\geqslant 2\ (3),\ \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\geqslant 2\ (3).\\\\Dac\breve{a}\ aduni\ inegalit\breve{a}\c{t}ile\ (1),\ (2),\ (3)\ membru\ cu\ membru,\ vei\ ob\c{t}ine\ exact\\inegalitatea\ (1),\ ceea\ ce\ trebuia\ demonstrat.$

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.