Question

Demonstrati ca a egal 2011 - x + x^2 - x^3 + ... + x^2010 este numar nenul oricare ar fi numarul intreg x.


A) Rezolvati in Z ecuatia : x^2 - 2x - 143 = 0.

B) Rezolvati in Z ecuatia : xy - 3x + 2y = 1.

Etapa locala, Bacau

Answer 1

Salut,


1) a = 2011 – x(1 – x) – x³(1 – x) – ... – x²°°⁹(1 – x) => a = 2011 – (1 – x)(x + x³ + ... + x²°°⁹) => a = 2011 – (1 – x) · x · (1 + x² + ... + x²°°⁸). Numarul a este nenul pentru ca (1 – x) · x(1 + x² + x⁴ + ... + x²°°⁸) este numar par.


2) Ecuatia se poate scrie: x² – 2x + 1 = 144 <=> (x – 1)² = 12² => |x – 1| = 12 => 12 = x – 1 daca x – 1 > 0 <=> x = 13 si 13 > 1 (A) sau 12 = –(x – 1) daca x – 1 < 0 <=> x = –11 si –11 < 1 (A). In concluzie, x ∈ {–11, 13}.


3) Din x · (y – 3) + 2 · (y – 3) + 6 = 1 => (x + 2)(y – 3) = –5 => (x, y) ∈ {(–3, 8); (3, 2)}.