Question

Demonstrati ca:
a) pentru orice numar intreg n , daca n ^2 nu se divide cu 16 , atunci n ^2 nu se divide cu 4;
b)in orice triunghi exista cel mult un unghi obtuz.

Answer 1

pres ca n² se divide cu 4 dar nu se divide cu 16
daca n²se divide cu 4, fie n se divide cu 4, fie n se divide cu 2
daca n se divide cu 4 atunci n² se divide cu 16, contradictie, am presupus ca nu se divide cu 16
daca n se divide cu 2, atunci n²se divide cu 4 si se poate sa nu se divida cu 16 Deci exista numere ale caror patrate nu se divid cu 16 dar se divid cu 4

Exemplu fie n=6
n²=36; 36 nu se divide cu 16, dar se divide cu 4
nu putem emonstra cerinta a)
exista numere de forma 2k , k impar, unde (2k)²=4k² se divid cu 4 si nu se divid cu 16
al numar 10
10²=100, nu se divide cu 16, dar se divide cu 4
Textul formulat este FALS ,poate asta se si cerea, Contradictia lui "orice n are propietatea P" este "exista cel putin un 'n" care nu are proprietatea P"
in cazul de fata am gasit numerele 6 si 10 ale caror patrate, 36 si , respectiv, 100 nu sunt divizibile cu 16 dar sunt divizibile cu 4


b) presupunem prin absurd ca ar exista mai ult de 1 unghiu obtuz, sa zicem unghuri obtuze
cum masurile unghiurilor obtuze sunt >90
atuncisuma adoua astfel de masuri va fi>90°+90°=180
decisum a 2 unghiuri vafi.180°
dar noi stim ca masura celor 3 unghiuri este=180°
contradictie, deci presupunerea ca ar avea 2 unghuiri obtuze este gresita Deci are cel mult un unghi obtuz
Propozitia b) este ADEVARATA