Question

Demonstrati ca:
a)$a^{2} + b ^{2} \geq 4(a+b)-8$
a,b ∈ R₊
b) $a+ \frac{1}{a} \geq b+ \frac{1}{b}$
$0\ \textless \ a \leq b\ \textless \ 1$
c) $\sqrt{(1+a)(1+b)} \geq 1+ \sqrt{ab}$
$a,b\ \textgreater \ 0$

Answer 1

a)a²+b²-4a-4b+4+4≥0
(a²-4a+4)+(b²-4b+4)≥0
(a-2)²+(b-2)²≥0  evident  ,ca  suma  de  patrate
c) se  rica  la  patrat ambii  membrii  si  se  obtine
(1+a)(1+b)≥1+2√ab+ab
1+a+b+ab≥1+2√ab+ab=>
a+b≥2√ab
(a+b)/2≥√ab adevarat  pt  ca  media  aritmetica  >  decat  media  geometrica
b)(a+1/a)-(b+1/b)≥0
(a²+1)/a-(b²+1)/b≥0
Aduci  la  acelasi  numitor
(a²b+b-ab²-a)/ab≥0
[(a²b-ab²)+(b-a)]ab>0
[ab(a-b)+(b-a)]/ab≥0
(a-b)(ab-1)/ab≥0
(a-b)≤0  pt  ca  a≤b
ab<1  ab-1<0
Deci  l numaratorul  e  pozitiv (ca  produs  de  2  numere  de  acelasi  semn (-)
deci  fractia  e  pozitiva  sau  0
 Egalitatea  e  demonstrata