Question

Demonstrati ca abcd este divizibil cu 11 daca si numai daca [(a + c) - (b + d)] este divizibil cu 11

Answer 1

Fie numarul abcd, unde a, b, c si d sint cifre.

Trebuie sa aratam ca abcd se divide cu 11 daca si numai daca (a+c)-(b+d) se divide cu 11.

abcd=1000a+100b+10c+d=

(1001-1)a+(99+1)b+(11-1)c+d=

(1001×a-a)+(99×b+b)+(11×c-c)+d=

(1001×a+99×b+11×c)+(-a+b-c+d).

Observam ca 1001=11×91, 99=11×9.

Deci prima paranteza: (1001×a+99×b+11×c) se divide cu 11.

In concluzie, daca paranteza a doua

(-a+b-c+d)=-a-c+b+d=-[(a+c)-(b+d)]

se divide cu 11, atunci numarul abcd se divide cu 11. Adica exact enuntul problemei....

Observatie: semnul minus din inaintea [] se poate ignora cu succes, nefiind relevant la divizibilitate.. De exemplu 33 se divide cu 11, dar si -33 se divide cu 11.