Demonstrati ca cele 3 bimediane ale unui tetraedru sunt congruente.(bimediana unui tetraedru este segmrntul care uneste mijloacele a doua muchii opuse)
albatran:
tetraedru regulat?? oricum e cam grea...
Nu este regulat
O fi grea, dar problema e o problema clasica din geometria tetraedrului. Cele trei bimediane ale tetraedrului se intersecteaza chiar in centrul de greutate al tetraedrului.
Nu imi amintesc prea bine demonstratia. Acum 2 ani o stiam. E vorba despre niste rapoarte, daca bine tin minte. Oricum, problema fiind clasica, poate fi gasita cu tot cu solutie in multe surse.
Congruente sau concurente ?
mersi albastru verde, poate si o rezolvare vectoriala ar fi interesanta; cred si eu o stiam acum de vreo 2 ori 20de ani...::::)))
cred ca problemele grele trebuiesc atacate de cei ce deja sunt avansati...si, date ca tema, acelorasi
Abia acum am observat ca in enunt spune "congruente". Eu am citit "
Eu am citit "concurente". Daca-i vorba de tetraedru nu neaparat regulat, atunci nu sunt neaparat congruente.
Eu de multe ori prefer sa analizez solutiile problemelor clasice, decat sa le rezolv. Dar de data asta, aruncand un ochi peste o figura cu un tetraedru, mi-am dat seama cum se rezolva: se formeaza niste paralelograme, de unde va rezulta ca bimedianele se injumatatesc.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
14
In figura de mai jos avem tetraedrul ABCD si doua bimediane ale sale: [MN] si [PQ]. (deci M,N,P,Q sunt mijloacele laturilor [AB], [CD], [AC], respectiv [BD]. Vom demonstra ca acestea se injumatatesc.
MP este linie mijlocie in triunghiul ABC , iar NQ este linie mijlocie in triunghiul BCD. De aici rezulta MP || BC si NQ || BC. Mai rezulta si ca MP=BC/2 si NQ=BC/2.
Din MP || BC si NQ || BC rezulta MP || NQ, deci punctele M,N,P,Q sunt coplanare. Din MP=BC/2 si NQ=BC/2 rezulta MP=NQ.
Din MP=NQ si MP || NQ rezulta ca patrulaterul MPNQ este paralelogram.
Deci MN si PQ se injumatatesc. (adica se intersecteaza intr-un punct care este mijlocul fiecarui segment)
Analog se demonstreaza ca cea de-a treia bimediana se injumatateste cu MN (sau cu PQ).
In concluzie cele trei bimediane ale unui tetraedru sunt concurente (nu "congruente", cum apare in enunt).
MP este linie mijlocie in triunghiul ABC , iar NQ este linie mijlocie in triunghiul BCD. De aici rezulta MP || BC si NQ || BC. Mai rezulta si ca MP=BC/2 si NQ=BC/2.
Din MP || BC si NQ || BC rezulta MP || NQ, deci punctele M,N,P,Q sunt coplanare. Din MP=BC/2 si NQ=BC/2 rezulta MP=NQ.
Din MP=NQ si MP || NQ rezulta ca patrulaterul MPNQ este paralelogram.
Deci MN si PQ se injumatatesc. (adica se intersecteaza intr-un punct care este mijlocul fiecarui segment)
Analog se demonstreaza ca cea de-a treia bimediana se injumatateste cu MN (sau cu PQ).
In concluzie cele trei bimediane ale unui tetraedru sunt concurente (nu "congruente", cum apare in enunt).
Anexe:
Multumesc pentru raspuns!
Cu placere!
Alte întrebări interesante
Biologie,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă