Question

Demonstrati ca daca p este numar prim atunci ecuatia p la puterea 2+2 la puterea p =2015 nu are solutii.

Answer 1

+=plus
/=supra sau impartit
*=inmultit
^=la puterea
modul 1:
de exemplu:
daca p este prim cum ar fi 3
3^2=9
9=4*2+1⇒restul impartirii lui 9 la 4 este 1 si
2^3=8
8/4=2⇒restul 0
nu are solutii ecutia deoarece 2015 nu este un numar prim.
ca sa demonstrez ca 2015 nu e prim, facem astfel:
2015 nu e prim, e numar compus.
2015=5*13*31
modul 2:
O prima ipoteza pe care o luam in calcul este ca p nu poate fi par, deoarece numerele pare nu sunt prime (mai putin 2, dar 2^2+2^2≠2015 deci iese din discutie)
Analizam fiecare termen:
p^2
un patrat perfect, daca p nu este par, se termina in 1,5,9.
2^p
2 la orice putere impara se termina in 2 sau 8.
Analizam ultima cifra a sumei: p^2+2^p
1+2=3
5+2=7
9+2=11⇒11 are ultima cifra 1
1+8=9
5+8=13⇒13 are ultima cifra 3
9+8=17⇒17 are ultima cifra 7
2015 are ultima cifra 5
deci nici o suma nu se termina in 5, asadar nu poate fi egal cu 2015, deci:
ecuatia p^2+2^p=2015 nu are solutii