Question

Demonstrati ca ecuatia x+lnx=0 are cel putin o solutie din intervalul [1/e;1].

Answer 1

$\text{Consideram functia }f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R},f(x)=x+\ln x\\ \text{Evident,f este continua, fiind o suma de doua functii continue,prin}\\ \text{urmare are proprietate lui Darboux.} \text{Mai departe avem ca:}\\ f\left(\dfrac{1}{e}\right)= \dfrac{1}{e}+\ln \dfrac{1}{e}=\dfrac{1}{e}-1=-\dfrac{e-1}{e}<0\\ f(1)=1+\ln 1=1 >0\\ \text{Asadar:}\\ f(1)\cdot f\left(\dfrac{1}{e}\right)<0\Rightarrow \exists\ c\in \left(\dfrac{1}{e},1\right),\text{astfel incat } f(c)=0$

Answer 2

f'(x)=1+1/x>0, ∀x>0

deci f(x) crescatoare pe (0,∞) deci si pe [1/e;1]⊂(0;∞) deci injectiva, deci ia orice valoare cuprinsa intre f(1/e) si f(1) o data si numai odata

f(1/e)=1/e-1=(1-e)/e <0

f(1)=1+1=2>0

deci valoarea 0 o va lua o data si numai odata pt un x∈[1/e;1]

adica are EXACT o solutie (o solutie si numai una) in intervalul [1/e;1]